[NOIP2001 提高组] 一元三次方程求解

题目描述

有形如：$a x^3 + b x^2 + c x + d = 0$  这样的一个一元三次方程。给出该方程中各项的系数（$a,b,c,d$ 均为实数），并约定该方程存在三个不同实根（根的范围在 $-100$ 至 $100$ 之间），且根与根之差的绝对值 $\ge 1$。要求由小到大依次在同一行输出这三个实根(根与根之间留有空格)，并精确到小数点后 $2$ 位。

提示：记方程 $f(x) = 0$，若存在 $2$ 个数 $x_1$ 和 $x_2$，且 $x_1 < x_2$，$f(x_1) \times f(x_2) < 0$，则在 $(x_1, x_2)$ 之间一定有一个根。

输入格式

一行，$4$ 个实数 $a, b, c, d$。

输出格式

一行，$3$ 个实根，从小到大输出，并精确到小数点后 $2$ 位。

样例 #1

样例输入 #1

1
1 -5 -4 20

样例输出 #1

1
-2.00 2.00 5.00

提示

【题目来源】
NOIP 2001 提高组第一题

题解

  • 注意到题目
  • 提示：记方程 $f(x) = 0$，若存在 $2$ 个数 $x_1$ 和 $x_2$，且 $x_1 < x_2$，$f(x_1) \times f(x_2) < 0$，则在 $(x_1, x_2)$ 之间一定有一个根。
  • 那么说明可能最左侧是一个根
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import java.io.BufferedReader;
import java.io.IOException;
import java.io.InputStreamReader;
import java.io.StreamTokenizer;

public class Main {

    static StreamTokenizer st = new StreamTokenizer(new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in)));

    static double nextDouble() throws IOException {
        st.nextToken();
        return st.nval;
    }


    static double check(double x) {
        // 原式子
        // 等于0 就是这个方程的解
        return a * x * x * x + b * x * x + c * x + d;
    }

    static double a;
    static double b;
    static double c;
    static double d;

    public static void main(String[] args) throws IOException {
        a = nextDouble();
        b = nextDouble();
        c = nextDouble();
        d = nextDouble();
        
        for (int i = -100; i < 100; i++) {
            // 一个数一个数的找
            double l = i;
            double r = i + 1d;

            // 提示中
            // x1 · x2 < 0  x1 x2有根
            if (check(l) * check(r) < 0) {
                // 用二分查找他之间的解
                while (r - l >= 0.001d) {// 精度0.01不够
                    double mid = (r + l) / 2;
                    // x1 · x2 < 0  x1 x2有根
                    if (check(mid) * check(r) < 0) {
                        // 缩减左端点
                        l = mid;
                    } else {
                        // 缩减右端点
                        r = mid;
                    }
                }
                System.out.printf("%.2f ", r);
            } else if (check(l) == 0) {
                // 只输出左点
                // 上方的二分包括了右端点
                System.out.printf("%.2f ", l);
            }
        }
    }
    
}